Géométrie dans l'espace - Exercices corrigés
1
Vecteurs dans l'espace
Soient \(A(2,1,3)\), \(B(4,2,3)\), \(C(6,1,3)\) et \(D(2,0,3)\) des points dans l'espace et \(\vec{u}(2,1,2)\) et \(\vec{v}(1,2,1)\) deux vecteurs.
- 1 Déterminer les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\).
- 2Calculer la distance \(CD\).
- 3Calculer la norme de \(\vec{u}\).
- 4Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}\).
- 5Déterminer le produit vectoriel \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{CD}\).
✓
Corrigé - Vecteurs dans l'espace
📌 1. Vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\)
\[ \overrightarrow{AB}(4-2,\;2-1,\;3-3) \Rightarrow \overrightarrow{AB}(2,\;1,\;0) \]
\[ \overrightarrow{CD}(2-6,\;0-1,\;3-3) \Rightarrow \overrightarrow{CD}(-4,\;-1,\;0) \]
📌 2. Distance \(CD\)
\[ CD = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17} \]
📌 3. Norme de \(\vec{u}\)
\[ \|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3 \]
📌 4. Produit scalaire \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}\)
\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} = (2)\times(-4) + (1)\times(-1) + (0)\times(0) = -8 - 1 = -9 \]
📌 5. Produit vectoriel \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{CD}\)
\[ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{CD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 0 \\ -4 & -1 & 0 \end{vmatrix} \]
\[ = (1\times0 - 0\times(-1))\vec{i} - (2\times0 - 0\times(-4))\vec{j} + (2\times(-1) - 1\times(-4))\vec{k} \]
\[ = 0\vec{i} - 0\vec{j} + (-2 + 4)\vec{k} = 2\vec{k} \]
✅ Réponse : \(\boxed{\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{CD} = 2\vec{k}}\)
Voir aussi
Chargement des cours...