📌 Rappel : Une sphère de diamètre $[AB]$ est l'ensemble des points $M(x,y,z)$ tels que le triangle $AMB$ est rectangle en $M$, c'est-à-dire :
\[
\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 0
\]
📌 Étape 1 : Calcul des vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{BM}$
\[
\overrightarrow{AM} = (x - 1,\; y - 2,\; z - 1)
\]
\[
\overrightarrow{BM} = (x - 3,\; y - 5,\; z - 4)
\]
📌 Étape 2 : Condition $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 0$
\[
(x - 1)(x - 3) + (y - 2)(y - 5) + (z - 1)(z - 4) = 0
\]
📌 Étape 3 : Développement
\[
(x^2 - 3x - x + 3) + (y^2 - 5y - 2y + 10) + (z^2 - 4z - z + 4) = 0
\]
\[
(x^2 - 4x + 3) + (y^2 - 7y + 10) + (z^2 - 5z + 4) = 0
\]
\[
x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 7y - 5z + (3 + 10 + 4) = 0
\]
\[
x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 7y - 5z + 17 = 0
\]
📌 Étape 4 : Reconnaître le centre et le rayon (forme canonique)
On complète les carrés :
\[
(x^2 - 4x) + (y^2 - 7y) + (z^2 - 5z) + 17 = 0
\]
\[
(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 - 7y + \frac{49}{4}) - \frac{49}{4} + (z^2 - 5z + \frac{25}{4}) - \frac{25}{4} + 17 = 0
\]
\[
(x - 2)^2 + \left(y - \frac{7}{2}\right)^2 + \left(z - \frac{5}{2}\right)^2 - 4 - \frac{49}{4} - \frac{25}{4} + 17 = 0
\]
\[
-4 - \frac{49}{4} - \frac{25}{4} + 17 = 13 - \frac{74}{4} = 13 - 18.5 = -\frac{22}{4} = -\frac{11}{2}
\]
\[
(x - 2)^2 + \left(y - \frac{7}{2}\right)^2 + \left(z - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{11}{2}
\]
Ainsi, l'équation cartésienne de la sphère $(S)$ est :
\[
\boxed{x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 7y - 5z + 17 = 0}
\]
ou sous forme canonique :
\[
\boxed{(x - 2)^2 + \left(y - \frac{7}{2}\right)^2 + \left(z - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{11}{2}}
\]
💡 Remarque : Le centre de la sphère est le milieu de $[AB]$ : $\Omega\left(2, \frac{7}{2}, \frac{5}{2}\right)$ et le rayon $R = \sqrt{\frac{11}{2}} = \frac{\sqrt{22}}{2}$.