Géométrie dans l'espace - Exercices corrigés
24
Équation cartésienne d'une sphère
Exercice 24
1 Déterminer l'équation cartésienne de la sphère $(S)$ de centre $\Omega(0, -2, 3)$ et de rayon $R = \sqrt{7}$.
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Corrigé - Équation cartésienne d'une sphère
📌 Rappel : L'équation cartésienne d'une sphère de centre $\Omega(x_0, y_0, z_0)$ et de rayon $R$ est donnée par :
\[
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2
\]
📌 Application :
On a $\Omega(0, -2, 3)$ et $R = \sqrt{7}$.
\[
(x - 0)^2 + (y - (-2))^2 + (z - 3)^2 = (\sqrt{7})^2
\]
\[
x^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 7
\]
📌 Développement (si nécessaire) :
\[
x^2 + (y^2 + 4y + 4) + (z^2 - 6z + 9) = 7
\]
\[
x^2 + y^2 + z^2 + 4y - 6z + (4 + 9) = 7
\]
\[
x^2 + y^2 + z^2 + 4y - 6z + 13 = 7
\]
\[
x^2 + y^2 + z^2 + 4y - 6z + 6 = 0
\]
Ainsi, l'équation cartésienne de la sphère $(S)$ est :
\[
\boxed{x^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 7}
\]
ou sous forme développée :
\[
\boxed{x^2 + y^2 + z^2 + 4y - 6z + 6 = 0}
\]
💡 Remarque : Le rayon est $\sqrt{7} \approx 2.65$ unités.
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