Géométrie dans l'espace - Exercices corrigés
23
Équation cartésienne d'une sphère
Exercice 23
1 Déterminer l'équation cartésienne de la sphère $(S)$ de centre $\Omega(-3, 0, 4)$ et de rayon $R = 5$.
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Corrigé - Équation cartésienne d'une sphère
📌 Rappel : L'équation cartésienne d'une sphère de centre $\Omega(x_0, y_0, z_0)$ et de rayon $R$ est donnée par :
\[
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2
\]
📌 Application :
On a $\Omega(-3, 0, 4)$ et $R = 5$.
\[
(x - (-3))^2 + (y - 0)^2 + (z - 4)^2 = 5^2
\]
\[
(x + 3)^2 + y^2 + (z - 4)^2 = 25
\]
📌 Développement (si nécessaire) :
\[
(x^2 + 6x + 9) + y^2 + (z^2 - 8z + 16) = 25
\]
\[
x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 8z + (9 + 16) = 25
\]
\[
x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 8z + 25 = 25
\]
\[
x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 8z = 0
\]
Ainsi, l'équation cartésienne de la sphère $(S)$ est :
\[
\boxed{(x + 3)^2 + y^2 + (z - 4)^2 = 25}
\]
ou sous forme développée :
\[
\boxed{x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 8z = 0}
\]
💡 Remarque : La forme développée $x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 8z = 0$ peut aussi s'écrire $x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 8z = 0$, ce qui correspond à une sphère passant par l'origine.
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