Géométrie dans l'espace - Exercices corrigés
22
Équation cartésienne d'une sphère
Exercice 22
1 Déterminer l'équation cartésienne de la sphère $(S)$ de centre $\Omega(1,2,1)$ et de rayon $R = 2$.
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Corrigé - Équation cartésienne d'une sphère
📌 Rappel : L'équation cartésienne d'une sphère de centre $\Omega(x_0, y_0, z_0)$ et de rayon $R$ est donnée par :
\[
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2
\]
📌 Application :
On a $\Omega(1, 2, 1)$ et $R = 2$.
\[
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 2^2
\]
\[
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 4
\]
📌 Développement (si nécessaire) :
\[
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + (z^2 - 2z + 1) = 4
\]
\[
x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 2z + (1 + 4 + 1) = 4
\]
\[
x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 2z + 6 = 4
\]
\[
x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 2z + 2 = 0
\]
Ainsi, l'équation cartésienne de la sphère $(S)$ est :
\[
\boxed{(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 4}
\]
ou sous forme développée :
\[
\boxed{x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 2z + 2 = 0}
\]
💡 Remarque : La forme développée permet de vérifier rapidement qu'il s'agit bien d'une sphère en identifiant les coefficients.
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