Géométrie dans l'espace - Exercices corrigés
21
Distance d'un point à une droite
Exercice 21
1 Calculer la distance entre $E(5, 0, -2)$ et la droite $(\Delta)$ dirigée par $\vec{w}(-1, 2, 4)$ et passant par $F(2, 3, 1)$.
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Corrigé - Distance d'un point à une droite
📌 Rappel : La distance d'un point $E$ à une droite $(\Delta)$ passant par $F$ et de vecteur directeur $\vec{w}$ est donnée par la formule :
\[
d(E, \Delta) = \frac{\| \overrightarrow{EF} \times \vec{w} \|}{\| \vec{w} \|}
\]
📌 Étape 1 : Calcul du vecteur $\overrightarrow{EF}$
\[
\overrightarrow{EF} = F - E = (2-5,\; 3-0,\; 1-(-2)) = (-3,\; 3,\; 3)
\]
📌 Étape 2 : Calcul du produit vectoriel $\overrightarrow{EF} \times \vec{w}$
On a $\vec{w} = (-1, 2, 4)$.
\[
\overrightarrow{EF} \times \vec{w} =
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
-3 & 3 & 3 \\
-1 & 2 & 4
\end{vmatrix}
\]
\[
= \left( (3)(4) - (3)(2) \right) \vec{i}
- \left( (-3)(4) - (3)(-1) \right) \vec{j}
+ \left( (-3)(2) - (3)(-1) \right) \vec{k}
\]
\[
= \left( 12 - 6 \right) \vec{i}
- \left( -12 + 3 \right) \vec{j}
+ \left( -6 + 3 \right) \vec{k}
\]
\[
= (6) \vec{i} - (-9) \vec{j} + (-3) \vec{k}
\]
\[
= 6\vec{i} + 9\vec{j} - 3\vec{k}
\]
Donc $\overrightarrow{EF} \times \vec{w} = (6,\; 9,\; -3)$.
📌 Étape 3 : Calcul de la norme du produit vectoriel
\[
\| \overrightarrow{EF} \times \vec{w} \| = \sqrt{6^2 + 9^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 81 + 9} = \sqrt{126}
\]
\[
\sqrt{126} = \sqrt{9 \times 14} = 3\sqrt{14}
\]
📌 Étape 4 : Calcul de la norme de $\vec{w}$
\[
\| \vec{w} \| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}
\]
📌 Étape 5 : Calcul de la distance
\[
d(E, \Delta) = \frac{3\sqrt{14}}{\sqrt{21}} = 3\sqrt{\frac{14}{21}} = 3\sqrt{\frac{2}{3}}
\]
\[
= 3 \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{6}
\]
\[
\boxed{d(E, \Delta) = \sqrt{6}}
\]
💡 Remarque : La distance trouvée est d'environ $2.45$ unités.
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