Géométrie dans l'espace - Exercices corrigés
20
Distance d'un point à une droite
Exercice 20
1 Calculer la distance entre $C(4, -1, 2)$ et la droite $(\Delta)$ dirigée par $\vec{v}(3, 0, -1)$ et passant par $D(1, 2, 5)$.
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Corrigé - Distance d'un point à une droite
📌 Rappel : La distance d'un point $C$ à une droite $(\Delta)$ passant par $D$ et de vecteur directeur $\vec{v}$ est donnée par la formule :
\[
d(C, \Delta) = \frac{\| \overrightarrow{CD} \wedge \vec{v} \|}{\| \vec{v} \|}
\]
📌 Étape 1 : Calcul du vecteur $\overrightarrow{CD}$
\[
\overrightarrow{CD} = D - C = (1-4,\; 2-(-1),\; 5-2) = (-3,\; 3,\; 3)
\]
📌 Étape 2 : Calcul du produit vectoriel $\overrightarrow{CD} \wedge \vec{v}$
On a $\vec{v} = (3, 0, -1)$.
\[
\overrightarrow{CD} \wedge \vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
-3 & 3 & 3 \\
3 & 0 & -1
\end{vmatrix}
\]
\[
= \left( (3)(-1) - (3)(0) \right) \vec{i}
- \left( (-3)(-1) - (3)(3) \right) \vec{j}
+ \left( (-3)(0) - (3)(3) \right) \vec{k}
\]
\[
= \left( -3 - 0 \right) \vec{i}
- \left( 3 - 9 \right) \vec{j}
+ \left( 0 - 9 \right) \vec{k}
\]
\[
= (-3) \vec{i} - (-6) \vec{j} + (-9) \vec{k}
\]
\[
= -3\vec{i} + 6\vec{j} - 9\vec{k}
\]
Donc $\overrightarrow{CD} \wedge \vec{v} = (-3,\; 6,\; -9)$.
📌 Étape 3 : Calcul de la norme du produit vectoriel
\[
\| \overrightarrow{CD} \wedge \vec{v} \| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + (-9)^2} = \sqrt{9 + 36 + 81} = \sqrt{126}
\]
\[
\sqrt{126} = \sqrt{9 \wedge 14} = 3\sqrt{14}
\]
📌 Étape 4 : Calcul de la norme de $\vec{v}$
\[
\| \vec{v} \| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 0 + 1} = \sqrt{10}
\]
📌 Étape 5 : Calcul de la distance
\[
d(C, \Delta) = \frac{3\sqrt{14}}{\sqrt{10}} = 3\sqrt{\frac{14}{10}} = 3\sqrt{\frac{7}{5}}
\]
\[
\boxed{d(C, \Delta) = 3\sqrt{\frac{7}{5}}}
\]
💡 Remarque : La distance trouvée est d'environ $3.35$ unités.
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