Géométrie dans l'espace - Exercices corrigés
19
Distance d'un point à une droite
Exercice 19
1 Calculer la distance entre $A(1,2,1)$ et la droite $(\Delta)$ dirigée par $\vec{u}(2,1,1)$ et passant par $B(3,5,3)$.
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Corrigé - Distance d'un point à une droite
📌 Rappel : La distance d'un point $A$ à une droite $(\Delta)$ passant par $B$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ est donnée par la formule :
\[
d(A, \Delta) = \frac{\| \overrightarrow{AB} \wedge \vec{u} \|}{\| \vec{u} \|}
\]
📌 Étape 1 : Calcul du vecteur $\overrightarrow{AB}$
\[
\overrightarrow{AB}(3-1,\; 5-2,\; 3-1) \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}(2, 3, 2)
\]
📌 Étape 2 : Calcul du produit vectoriel $\overrightarrow{AB} \wedge \vec{u}$
On a $\vec{u} = (2, 1, 1)$.
\[
\overrightarrow{AB} \wedge \vec{u} =
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
2 & 3 & 2 \\
2 & 1 & 1
\end{vmatrix}
\]
\[
= \left( (3)(1) - (2)(1) \right) \vec{i}
- \left( (2)(1) - (2)(2) \right) \vec{j}
+ \left( (2)(1) - (3)(2) \right) \vec{k}
\]
\[
= \left( 3 - 2 \right) \vec{i}
- \left( 2 - 4 \right) \vec{j}
+ \left( 2 - 6 \right) \vec{k}
\]
\[
= (1) \vec{i} - (-2) \vec{j} + (-4) \vec{k}
\]
\[
= \vec{i} + 2\vec{j} - 4\vec{k}
\]
Donc $\overrightarrow{AB} \wedge \vec{u} = (1,\; 2,\; -4)$.
📌 Étape 3 : Calcul de la norme du produit vectoriel
\[
\| \overrightarrow{AB} \wedge \vec{u} \| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}
\]
📌 Étape 4 : Calcul de la norme de $\vec{u}$
\[
\| \vec{u} \| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}
\]
📌 Étape 5 : Calcul de la distance
\[
d(A, \Delta) = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{21}{6}} = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}
\]
\[
\boxed{d(A, \Delta) = \frac{\sqrt{14}}{2}}
\]
💡 Remarque : La distance trouvée est d'environ $1.87$ unités.
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