Exercice 16
1 Déterminer la représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ qui passe par le point $C(3, -2, 5)$ et est perpendiculaire au plan $(Q) : -x + 4y - 2z + 7 = 0$.
📌 Rappel : Une droite $(\Delta)$ passant par un point $A(x_A, y_A, z_A)$ et dirigée par un vecteur $\vec{u}(a, b, c)$ admet pour représentation paramétrique :
📌 Rappel : Un vecteur normal au plan $(P): ax + by + cz + d = 0$ est $\vec{n}(a, b, c)$.
📌 Application :
On a la droite $(\Delta)$ qui passe par $C(3, -2, 5)$ et est perpendiculaire au plan $(Q)$.
Le vecteur normal au plan $(Q)$ est $\vec{n}(-1, 4, -2)$.
Puisque $(\Delta)$ est perpendiculaire à $(Q)$, elle est dirigée par le vecteur normal $\vec{n}$.
Donc un vecteur directeur de $(\Delta)$ est $\vec{u} = \vec{n} = (-1, 4, -2)$.
Pour tout point $M(x,y,z) \in (\Delta)$, on a :
Or $\overrightarrow{CM} = (x-3,\; y+2,\; z-5)$ et $\vec{u} = (-1, 4, -2)$.
On obtient le système :
D'où la représentation paramétrique de $(\Delta)$ :
💡 Remarque : Le paramètre $t$ peut prendre toutes les valeurs réelles. Pour $t=0$, on retrouve le point $C$ ; pour $t=1$, on obtient le point $D(2, 2, 3)$.
📌 Vérification : Le vecteur $\overrightarrow{CD}(-1,4,-2)$ est bien colinéaire au vecteur normal $\vec{n}(-1,4,-2)$, donc la droite est perpendiculaire au plan.