Exercice 15
1 Déterminer la représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ qui passe par $A(1,1,2)$ et est perpendiculaire au plan $(P) : 2x + 2y + 3z - 2 = 0$.
📌 Rappel : Une droite $(\Delta)$ passant par un point $A(x_A, y_A, z_A)$ et dirigée par un vecteur $\vec{u}(a, b, c)$ admet pour représentation paramétrique :
📌 Rappel : Un vecteur normal au plan $(P): ax + by + cz + d = 0$ est $\vec{n}(a, b, c)$.
📌 Application :
On a la droite $(\Delta)$ qui passe par $A(1,1,2)$ et est perpendiculaire au plan $(P)$.
Le vecteur normal au plan $(P)$ est $\vec{n}(2, 2, 3)$.
Puisque $(\Delta)$ est perpendiculaire à $(P)$, elle est dirigée par le vecteur normal $\vec{n}$.
Donc un vecteur directeur de $(\Delta)$ est $\vec{u} = \vec{n} = (2, 2, 3)$.
Pour tout point $M(x,y,z) \in (\Delta)$, on a :
Or $\overrightarrow{AM} = (x-1,\; y-1,\; z-2)$ et $\vec{u} = (2, 2, 3)$.
On obtient le système :
D'où la représentation paramétrique de $(\Delta)$ :
💡 Remarque : Le paramètre $t$ peut prendre toutes les valeurs réelles. Pour $t=0$, on retrouve le point $A$ ; pour $t=1$, on obtient le point $B(3, 3, 5)$.
📌 Vérification : Le vecteur $\overrightarrow{AB}(2,2,3)$ est bien colinéaire au vecteur normal $\vec{n}(2,2,3)$, donc la droite est perpendiculaire au plan.