Géométrie dans l'espace - Exercices corrigés
13
Représentation paramétrique d'une droite
Exercice 13
1 Déterminer la représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ qui passe par $A(1,1,2)$ et est dirigée par $\vec{u}(2,2,5)$.
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Corrigé - Représentation paramétrique
📌 Rappel : Une droite $(\Delta)$ passant par un point $A(x_A, y_A, z_A)$ et dirigée par un vecteur $\vec{u}(a, b, c)$ admet pour représentation paramétrique :
\[
\begin{cases}
x = x_A + t \cdot a \\
y = y_A + t \cdot b \\
z = z_A + t \cdot c
\end{cases}
\qquad t \in \mathbb{R}
\]
📌 Application :
On a la droite $(\Delta)$ qui passe par $A(1,1,2)$ et est dirigée par $\vec{u}(2,2,5)$.
Pour tout point $M(x,y,z) \in (\Delta)$, on a :
\[
\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u} \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}.
\]
Or $\overrightarrow{AM} = (x-1,\; y-1,\; z-2)$ et $\vec{u} = (2,2,5)$.
On obtient le système :
\[
\begin{cases}
x - 1 = 2t \\
y - 1 = 2t \\
z - 2 = 5t
\end{cases}
\qquad t \in \mathbb{R}.
\]
D'où la représentation paramétrique de $(\Delta)$ :
\[
\boxed{
\begin{cases}
x = 1 + 2t \\
y = 1 + 2t \\
z = 2 + 5t
\end{cases}
\qquad t \in \mathbb{R}
}
\]
💡 Remarque : Le paramètre $t$ peut prendre toutes les valeurs réelles. Pour $t=0$, on retrouve le point $A$ ; pour $t=1$, on obtient le point $B(3,3,7)$.
Voir aussi
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