📐 Exercice 1 : Vecteurs dans l'espace
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Exercice 1
Soient \(A(2,1,3)\), \(B(4,2,3)\), \(C(6,1,3)\) et \(D(2,0,3)\) des points dans l'espace et \(\vec{u}(2,1,2)\) et \(\vec{v}(1,2,1)\) deux vecteurs.
1 Déterminer les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\).
2 Calculer la distance \(CD\).
3 Calculer la norme de \(\vec{u}\).
4 Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}\).
5 Déterminer le produit vectoriel \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{CD}\).
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Corrigé Exercice 1
Données :
\[ A(2,1,3),\quad B(4,2,3),\quad C(6,1,3),\quad D(2,0,3) \]
\[ \vec{u}(2,1,2),\quad \vec{v}(1,2,1) \]
1 Vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\)
\[ \overrightarrow{AB}(4-2,\;2-1,\;3-3)=(2,\;1,\;0) \]
\[ \overrightarrow{CD}(2-6,\;0-1,\;3-3)=(-4,\;-1,\;0) \]
2 Distance \(CD\)
\[ CD=\|\overrightarrow{CD}\|=\sqrt{(-4)^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17} \]
3 Norme de \(\vec{u}\)
\[ \|\vec{u}\|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3 \]
4 Produit scalaire \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}\)
\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} =(2)(-4)+(1)(-1)+(0)(0)=-8-1=-9 \]
5 Produit vectoriel \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{CD}\)
\[ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{CD}=
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
2 & 1 & 0 \\
-4 & -1 & 0
\end{vmatrix} \]
\[ =\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \vec{i}
-\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -4 & 0 \end{vmatrix}\vec{j}
+\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -1 \end{vmatrix}\vec{k} \]
\[ =\big(1\cdot0-0\cdot(-1)\big)\vec{i}-\big(2\cdot0-0\cdot(-4)\big)\vec{j}+\big(2\cdot(-1)-1\cdot(-4)\big)\vec{k} \]
\[ =0\vec{i}-0\vec{j}+2\vec{k} \]
\[ \boxed{\overrightarrow{AB}(2,1,0),\quad \overrightarrow{CD}(-4,-1,0),\quad CD=\sqrt{17},\quad \|\vec{u}\|=3,\quad \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=-9,\quad \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{CD}=2\vec{k}} \]