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📖 Primitives de fonctions (contenu du PDF à télécharger)
1 — Définition et propriétés
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On appelle primitive de \(f\) sur \(I\) toute fonction \(F\) dérivable sur \(I\) telle que :
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), alors toutes les primitives de \(f\) sur \(I\) sont de la forme \(x \mapsto F(x) + k\) où \(k \in \mathbb{R}\).
Autrement dit, deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.
Toute fonction continue sur un intervalle \(I\) admet des primitives sur \(I\).
2 — Opérations sur les primitives
Si \(F\) et \(G\) sont des primitives respectives de \(f\) et \(g\) sur \(I\), alors :
- \(F + G\) est une primitive de \(f + g\)
- \(\lambda F\) (avec \(\lambda \in \mathbb{R}\)) est une primitive de \(\lambda f\)
Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors \(F \circ u\) est une primitive de \(u' \times (f \circ u)\) lorsque \(u\) est dérivable.
3 — Tableau des primitives usuelles
| Fonction \(f(x)\) | Une primitive \(F(x)\) | Conditions |
|---|---|---|
| \(a\) (constante) | \(ax\) | \(a \in \mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (\(n \in \mathbb{N}\)) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | |
| \(x^n\) (\(n \in \mathbb{Z}\), \(n \neq -1\)) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(x \neq 0\) si \(n < 0\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x \neq 0\) |
| \(\dfrac{1}{x^2}\) | \(-\dfrac{1}{x}\) | \(x \neq 0\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(x > 0\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | |
| \(e^{ax+b}\) | \(\dfrac{1}{a}e^{ax+b}\) | \(a \neq 0\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | |
| \(\cos(ax+b)\) | \(\dfrac{1}{a}\sin(ax+b)\) | \(a \neq 0\) |
| \(\sin(ax+b)\) | \(-\dfrac{1}{a}\cos(ax+b)\) | \(a \neq 0\) |
| \(1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}\) | \(\tan x\) | \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arcsin x\) | \(|x| < 1\) |
| \(\dfrac{1}{1+x^2}\) | \(\arctan x\) |
4 — Primitives de fonctions composées
- \(\displaystyle \int u'(x) \cdot u(x)^n \, dx = \frac{u(x)^{n+1}}{n+1} + C\) pour \(n \neq -1\)
- \(\displaystyle \int \frac{u'(x)}{u(x)} \, dx = \ln|u(x)| + C\)
- \(\displaystyle \int u'(x) e^{u(x)} \, dx = e^{u(x)} + C\)
- \(\displaystyle \int u'(x) \cos(u(x)) \, dx = \sin(u(x)) + C\)
- \(\displaystyle \int u'(x) \sin(u(x)) \, dx = -\cos(u(x)) + C\)
- \(\displaystyle \int \frac{u'(x)}{1+u(x)^2} \, dx = \arctan(u(x)) + C\)
\(\displaystyle \int 2x e^{x^2} \, dx = e^{x^2} + C\) (car \(u(x)=x^2\), \(u'(x)=2x\))
\(\displaystyle \int \frac{2x}{x^2+1} \, dx = \ln(x^2+1) + C\) (car \(u(x)=x^2+1\), \(u'(x)=2x\))
5 — Primitive vérifiant une condition initiale
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\). Pour tout \(x_0 \in I\) et tout \(y_0 \in \mathbb{R}\), il existe une unique primitive \(F\) de \(f\) telle que \(F(x_0) = y_0\).
Cette primitive est donnée par :
6 — Application au calcul intégral
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a,b]\), alors :
7 — Récapitulatif des primitives usuelles
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Domaine de validité |
|---|---|---|
| \(x^n\) (\(n \in \mathbb{R}\), \(n \neq -1\)) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(x>0\) si \(n \notin \mathbb{Z}\) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(\ln x\) | \(x>0\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(a^x\) (\(a>0\)) | \(\frac{a^x}{\ln a}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\frac{1}{\cos^2 x}\) | \(\tan x\) | \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\) |
| \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arcsin x\) | \(|x| < 1\) |
| \(\frac{1}{1+x^2}\) | \(\arctan x\) | \(\mathbb{R}\) |
OUADJI Jaouad | 1 Mo