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📊 Fonctions Logarithmiques (cours complet en PDF)
Préparé par : OUADJI Jaouad | وادجي جواد
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Sciences Expérimentales - Sciences de la Vie et de la Terre - BIOF
📊 Fonctions Logarithmiques (contenu du PDF à télécharger)
1 — La fonction logarithme népérien
1.1 Définition
📘 Définition
La fonction logarithme népérien, notée \(\ln\), est la fonction définie sur \(]0, +\infty[\) par :
\[ \ln x = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt \]
Elle est la primitive de la fonction \(x \mapsto \frac{1}{x}\) sur \(]0, +\infty[\) qui s'annule en \(x = 1\).
1.2 Propriétés algébriques
📌 Propriétés fondamentales
Pour tous \(a, b > 0\) et pour tout \(r \in \mathbb{Q}\) :
- \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\)
- \(\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b\)
- \(\ln(a^r) = r \ln a\)
- \(\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln a\)
- \(\ln(1) = 0\) et \(\ln(e) = 1\)
1.3 Étude de la fonction \(\ln\)
- Domaine de définition : \(D_{\ln} = ]0, +\infty[\)
- Dérivée : \((\ln x)' = \frac{1}{x}\) pour tout \(x > 0\)
- Monotonie : \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0, +\infty[\)
- Limites : \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty\) et \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty\)
- Concavité : \(\ln\) est concave sur \(]0, +\infty[\) car \((\ln x)'' = -\frac{1}{x^2} < 0\)
2 — Équations et inéquations logarithmiques
📌 Résolution
Pour \(a, b > 0\) et \(a \neq 1\) :
- \(\ln a = \ln b \iff a = b\)
- \(\ln a < \ln b \iff a < b\) (car \(\ln\) est strictement croissante)
- \(\ln a > 0 \iff a > 1\)
- \(\ln a < 0 \iff 0 < a < 1\)
3 — Limites et dérivées
📌 Limites usuelles
\[ \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 \]
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \]
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \]
📌 Dérivées composées
- \((\ln u)' = \frac{u'}{u}\) pour \(u > 0\)
- \((\ln |u|)' = \frac{u'}{u}\) pour \(u \neq 0\)
4 — Autres fonctions logarithmiques
4.1 Logarithme de base \(a\)
📘 Définition
Pour \(a > 0\) et \(a \neq 1\), le logarithme de base \(a\) est défini par :
\[ \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} \]
Propriétés :
- \(\log_a a = 1\)
- \(\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y\)
- \(\log_a (x^r) = r \log_a x\)
4.2 Fonction exponentielle
📘 Définition
La fonction exponentielle, notée \(\exp\) ou \(x \mapsto e^x\), est la fonction réciproque de \(\ln\) :
\[ \forall x \in \mathbb{R},\ \ln(e^x) = x \quad \text{et} \quad \forall y > 0,\ e^{\ln y} = y \]
Propriétés :
- \(e^{x+y} = e^x e^y\)
- \(e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}\)
- \((e^x)' = e^x\)
- \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^x = 0\) et \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\)
5 — Étude de fonctions logarithmiques
📌 Méthode d'étude
Pour étudier une fonction \(f(x) = \ln(u(x))\) :
- Domaine de définition : \(u(x) > 0\)
- Dérivée : \(f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}\)
- Signe de \(f'\) : même signe que \(u'\) car \(u > 0\)
- Limites aux bornes du domaine
📝 Exemple important
Étude de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\) :
- \(D_f = \mathbb{R}\) car \(x^2 + 1 > 0\)
- \(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\)
- \(f\) décroissante sur \(]-\infty, 0]\) et croissante sur \([0, +\infty[\)
- Minimum en \(x = 0\) avec \(f(0) = 0\)
6 — Tableau récapitulatif
| Fonction | Domaine | Dérivée | Limites |
|---|---|---|---|
| \(\ln x\) | \(]0, +\infty[\) | \(\frac{1}{x}\) | \(\lim_{x\to 0^+} = -\infty\), \(\lim_{x\to +\infty} = +\infty\) |
| \(\log_a x\) | \(]0, +\infty[\) | \(\frac{1}{x \ln a}\) | Mêmes limites que \(\ln\) |
| \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) | \(e^x\) | \(\lim_{x\to -\infty} = 0\), \(\lim_{x\to +\infty} = +\infty\) |
| \(a^x\) | \(\mathbb{R}\) | \(a^x \ln a\) | Varie selon \(a > 1\) ou \(0 < a < 1\) |
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OUADJI Jaouad | 3 Mo
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