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📈 Fonctions Exponentielles (contenu du PDF à télécharger)
1 — La fonction exponentielle népérienne
La fonction exponentielle népérienne, notée \(\exp\) ou \(x \mapsto e^x\), est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien \(\ln\).
Elle est définie sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :
Le nombre \(e\) est l'unique réel tel que \(\ln e = 1\).
1.1 Propriétés algébriques
Pour tous \(a, b \in \mathbb{R}\) et pour tout \(r \in \mathbb{Q}\) :
- \(e^{a+b} = e^a \times e^b\)
- \(e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}\)
- \(e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}\)
- \((e^a)^r = e^{ar}\)
- \(e^0 = 1\)
1.2 Étude de la fonction exponentielle
- Domaine de définition : \(D_{\exp} = \mathbb{R}\)
- Dérivée : \((e^x)' = e^x\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\)
- Monotonie : \(e^x > 0\) donc \(\exp\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\)
- Limites : \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^x = 0\) et \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\)
- Concavité : \((e^x)'' = e^x > 0\) donc \(\exp\) est convexe sur \(\mathbb{R}\)
2 — Équations et inéquations exponentielles
Pour \(a, b \in \mathbb{R}\) :
- \(e^a = e^b \iff a = b\)
- \(e^a < e^b \iff a < b\) (car \(\exp\) est strictement croissante)
- \(e^a > 0\) pour tout \(a \in \mathbb{R}\)
- \(e^x = k\) admet une solution unique si \(k > 0\) : \(x = \ln k\)
- \(e^x > k\) : si \(k \le 0\), solution dans \(\mathbb{R}\) ; si \(k > 0\), \(x > \ln k\)
Résoudre \(e^{2x-1} = e^{x+3}\) :
\(2x-1 = x+3 \iff x = 4\)
3 — Limites et dérivées
- \((e^{u})' = u' e^{u}\)
- \((e^{ax+b})' = a e^{ax+b}\)
4 — Fonction exponentielle de base \(a\)
Pour \(a > 0\) et \(a \neq 1\), la fonction exponentielle de base \(a\) est définie par :
Propriétés :
- \(a^0 = 1\)
- \(a^{x+y} = a^x \times a^y\)
- \((a^x)' = a^x \ln a\)
- Si \(a > 1\) : \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty\) et \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} a^x = 0\)
- Si \(0 < a < 1\) : \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} a^x = 0\) et \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty\)
5 — Étude de fonctions exponentielles
Pour étudier une fonction \(f(x) = e^{u(x)}\) :
- Domaine de définition : celui de \(u\)
- Dérivée : \(f'(x) = u'(x) e^{u(x)}\)
- Signe de \(f'\) : même signe que \(u'\) car \(e^{u(x)} > 0\)
- Limites : utiliser les limites usuelles
Étude de \(f(x) = e^{-x^2}\) :
- \(D_f = \mathbb{R}\)
- \(f'(x) = -2x e^{-x^2}\)
- \(f\) croissante sur \(]-\infty, 0]\) et décroissante sur \([0, +\infty[\)
- Maximum en \(x = 0\) avec \(f(0) = 1\)
- \(\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0\)
6 — Tableau récapitulatif
| Fonction | Domaine | Dérivée | Limites | Monotonie |
|---|---|---|---|---|
| \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) | \(e^x\) | \(0\) en \(-\infty\), \(+\infty\) en \(+\infty\) | Croissante |
| \(e^{ax+b}\) | \(\mathbb{R}\) | \(a e^{ax+b}\) | Varie selon \(a>0\) ou \(a<0\) | Varie selon \(a\) |
| \(a^x\) (\(a>1\)) | \(\mathbb{R}\) | \(a^x \ln a\) | \(0\) en \(-\infty\), \(+\infty\) en \(+\infty\) | Croissante |
\(a^x\) (\(0| \(\mathbb{R}\) | \(a^x \ln a\) | \(+\infty\) en \(-\infty\), \(0\) en \(+\infty\) | Décroissante | |
OUADJI Jaouad | 1.9 Mo