Dima20

📈 Équation différentielle d'ordre 2 avec conditions initiales

📝 Exercice 11 - Énoncé

1 Résoudre l'équation différentielle :

\[ (E_1):\; y'' - 4y' + 4y = 0 \]

2 Déterminer la solution \(f\) vérifiant :

\[ f(0) = 1 \quad\text{et}\quad f'(0) = 1 \]

Rappel du théorème 11.3.1 : Pour \((E): y'' + ay' + by = 0\), on forme l'équation caractéristique \(r^2 + ar + b = 0\). La solution générale dépend du discriminant \(\Delta = a^2 - 4b\).

✅ Correction détaillée

1 Résolution de \((E_1): y'' - 4y' + 4 = 0\)

L'équation caractéristique associée est :

\[ r^2 - 4r + 4 = 0 \]

Calcul du discriminant :

\[ \Delta = a^2 - 4b = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0 \]

\(\Delta = 0\) : une racine réelle double.

\[ r_0 = -\frac{a}{2} = -\frac{(-4)}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

D'après le théorème 11.3.1 (cas \(\Delta = 0\)), la solution générale est :

\[ \boxed{y(x) = (\alpha x + \beta)e^{2x},\quad \alpha, \beta \in \mathbb{R}} \]

---

2 Détermination de la solution \(f\) vérifiant \(f(0) = 1\) et \(f'(0) = 1\)

On a \(f(x) = (\alpha x + \beta)e^{2x}\).

Calculons d'abord \(f'(x)\) en utilisant la formule de dérivée d'un produit :

\[ f'(x) = \alpha e^{2x} + (\alpha x + \beta) \times 2e^{2x} = e^{2x}(\alpha + 2\alpha x + 2\beta) = e^{2x}(2\alpha x + \alpha + 2\beta) \]

Appliquons les conditions initiales :

Condition \(f(0) = 1\) :

\[ f(0) = (\alpha \times 0 + \beta)e^{0} = \beta \times 1 = \beta = 1 \]

Donc \(\beta = 1\).

Condition \(f'(0) = 1\) :

\[ f'(0) = e^{0}(2\alpha \times 0 + \alpha + 2\beta) = 1 \times (\alpha + 2\beta) = \alpha + 2\beta = 1 \]

Remplaçons \(\beta = 1\) :

\[ \alpha + 2 \times 1 = 1 \implies \alpha + 2 = 1 \implies \alpha = -1 \]

Ainsi, \(\alpha = -1\) et \(\beta = 1\).

La solution particulière est donc :

\[ \boxed{f(x) = (-x + 1)e^{2x}} \]

Vérification :

\(f(0) = (-0 + 1)e^{0} = 1 \times 1 = 1\) ✓

\(f'(x) = e^{2x}(-1 + 2(-x+1)) = e^{2x}(-1 -2x + 2) = e^{2x}(1 - 2x)\)

\(f'(0) = e^{0}(1 - 0) = 1\) ✓

---

3 Récapitulatif :

Équation	Solution générale	Conditions initiales	Solution particulière \(f(x)\)
\(y'' - 4y' + 4y = 0\)	\((\alpha x + \beta)e^{2x}\)	\(f(0) = 1,\; f'(0) = 1\)	\((-x + 1)e^{2x}\)

📌 Remarque : Les conditions initiales déterminent de façon unique les constantes \(\alpha\) et \(\beta\) (théorème d'existence et d'unicité pour les équations du second ordre).

⚠️ Note importante : L'équation donnée est \(y'' - 4y' + 4 = 0\). Il manque le terme \(y\) dans l'expression. J'ai interprété comme \(y'' - 4y' + 4y = 0\) car c'est la forme standard d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants. Si l'équation était réellement \(y'' - 4y' + 4 = 0\) (sans \(y\)), il s'agirait d'une équation du second ordre avec second membre constant, ce qui nécessiterait une méthode différente (solution particulière + solution générale de l'équation homogène associée).

💡 Forme simplifiée : On peut aussi écrire \(f(x) = (1 - x)e^{2x}\).

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