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📈 Dérivation et étude des fonctions (contenu du PDF à télécharger)
1 — Dérivabilité en un point
1.1 Définition
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle ouvert \(I\) contenant \(x_0\).
- \(f\) est dérivable en \(x_0\) si et seulement si : \[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \ell \in \mathbb{R} \] ou de manière équivalente : \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \ell \in \mathbb{R} \] Le nombre \(\ell\) est appelé nombre dérivé de \(f\) en \(x_0\) et est noté \(f'(x_0)\).
- \(f\) est dérivable à droite en \(x_0\) si la limite à droite existe, notée \(f'_d(x_0)\).
- \(f\) est dérivable à gauche en \(x_0\) si la limite à gauche existe, notée \(f'_g(x_0)\).
Une fonction \(f\) est dérivable en \(x_0\) ssi elle est dérivable à droite et à gauche en \(x_0\) et \(f'_d(x_0) = f'_g(x_0)\).
2 — Interprétation géométrique
Soit \(f\) dérivable en \(x_0\). La tangente \((T)\) à la courbe \((C_f)\) au point \(A(x_0, f(x_0))\) a pour équation :
Si les dérivées à droite et à gauche existent mais sont différentes, on a un point anguleux.
3 — Dérivabilité sur un intervalle
\(f\) est dérivable sur un intervalle ouvert \(]a,b[\) si elle est dérivable en tout point de \(]a,b[\).
Elle est dérivable sur \([a,b]\) si elle est dérivable sur \(]a,b[\) et dérivable à droite en \(a\) et à gauche en \(b\).
La fonction dérivée première est notée \(f'\). La dérivée seconde est \(f''\).
4 — Opérations sur les fonctions dérivables
Soient \(f,g\) dérivables sur \(I\).
- \((f+g)' = f' + g'\)
- \((\alpha f)' = \alpha f'\)
- \((fg)' = f'g + fg'\)
- \(\left(\frac{1}{g}\right)' = -\frac{g'}{g^2}\) (si \(g\neq 0\))
- \(\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}\) (si \(g\neq 0\))
5 — Dérivées des fonctions usuelles
- \((\alpha x^n)' = n\alpha x^{n-1}\) pour \(n\in \mathbb{N}^*\)
- \((\sin x)' = \cos x\)
- \((\cos x)' = -\sin x\)
- \((\tan x)' = 1+\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\)
- \((f^n)' = n f^{n-1} f'\)
- \((\sqrt{f})' = \frac{f'}{2\sqrt{f}}\)
6 — Dérivée de la composée
Si \(f\) est dérivable en \(x_0\) et \(g\) dérivable en \(f(x_0)\), alors \(g\circ f\) est dérivable en \(x_0\) et :
7 — Dérivée de la fonction réciproque
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \(I\), dérivable en \(x_0\) avec \(f'(x_0) \neq 0\), alors \(f^{-1}\) est dérivable en \(y_0 = f(x_0)\) et :
8 — Applications de la dérivée première
Si \(f'(x) > 0\) sur \(I\) alors \(f\) est strictement croissante ; si \(f'(x) < 0\) elle est strictement décroissante.
📐 ExtremumsSi \(f\) admet un extremum en \(a\) alors \(f'(a)=0\). Réciproquement, si \(f'(a)=0\) et \(f'\) change de signe, \(f(a)\) est un extremum.
9 — Applications de la dérivée seconde
Si \(f''(x) > 0\) sur \(I\), la courbe est convexe. Si \(f''(x) < 0\), elle est concave.
Si \(f''(x_0)=0\) et change de signe, \(A(x_0,f(x_0))\) est un point d'inflexion.
10 — Symétries de la courbe
📘 Axe de symétrie \(x=a\) : \(f(2a-x)=f(x)\) pour tout \(x\).
11 — Branches infinies
- Asymptote verticale : \( \lim_{x\to a^\pm} f(x) = \pm\infty\)
- Asymptote horizontale : \( \lim_{x\to \pm\infty} f(x) = b\)
- Asymptote oblique : \( \lim_{x\to \pm\infty} [f(x)-(ax+b)]=0\) avec \(a = \lim \frac{f(x)}{x}\), \(b = \lim [f(x)-ax]\)
- Branche parabolique selon direction axe des ordonnées si \(\lim \frac{f(x)}{x} = \pm\infty\), etc.
12 — Approximation affine
Pour \(h\) proche de 0 : \(f(a+h) \approx f(a) + h f'(a)\).
OUADJI Jaouad | 2 Mo