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🎲 Dénombrement (Analyse combinatoire)
1 — Ensembles finis – Cardinal
Soit \( n \in \mathbb{N}^* \). Un ensemble \(E\) qui contient \(n\) éléments est dit fini.
Le nombre \(n\) est appelé le cardinal de \(E\) et on note : \(\mathrm{card}(E) = n\).
Par convention : \(\mathrm{card}(\varnothing) = 0\).
Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles finis.
- Si \(E \cap F = \varnothing\), alors \(\mathrm{card}(E \cup F) = \mathrm{card}(E) + \mathrm{card}(F)\).
- Principe d'inclusion-exclusion : \(\mathrm{card}(E \cup F) = \mathrm{card}(E) + \mathrm{card}(F) - \mathrm{card}(E \cap F)\).
- Produit cartésien : \(\mathrm{card}(E \times F) = \mathrm{card}(E) \times \mathrm{card}(F)\).
- Complémentaire : Si \(A \subset E\), alors \(\mathrm{card}(\overline{A}) = \mathrm{card}(E) - \mathrm{card}(A)\).
2 — Principe fondamental du dénombrement
Si une expérience comporte \(p\) étapes successives et indépendantes, et si :
- la première étape peut se réaliser de \(n_1\) façons,
- la deuxième étape peut se réaliser de \(n_2\) façons,
- ...
- la \(p\)-ème étape peut se réaliser de \(n_p\) façons,
alors le nombre total d'issues possibles pour l'expérience est : \(n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_p\).
3 — Arrangements avec répétition
Un arrangement avec répétition de \(p\) éléments pris parmi \(n\) est une liste ordonnée de \(p\) éléments choisis parmi \(n\), avec possibilité de répéter les éléments.
Le nombre d'arrangements avec répétition de \(p\) éléments parmi \(n\) est : \(n^p\).
Cela correspond à un tirage avec remise de \(p\) boules dans une urne en contenant \(n\).
Le nombre de codes à 4 chiffres (de 0000 à 9999) est : \(10^4 = 10\,000\).
4 — Arrangements sans répétition
Un arrangement sans répétition de \(p\) éléments pris parmi \(n\) (avec \(p \leq n\)) est une liste ordonnée de \(p\) éléments distincts choisis parmi \(n\).
Le nombre d'arrangements sans répétition de \(p\) éléments parmi \(n\) est :
où \(n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n\) (factorielle \(n\)), avec \(0! = 1\).
\(A_n^0 = 1\), \(A_n^1 = n\), \(A_n^2 = n(n-1)\), \(A_n^n = n!\).
Cela correspond à un tirage sans remise et ordonné de \(p\) boules dans une urne en contenant \(n\).
Le nombre de podiums (1er, 2e, 3e) possibles pour une course de 8 chevaux est : \(A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 = 336\).
5 — Permutations
Une permutation de \(n\) éléments est un arrangement sans répétition de \(n\) éléments parmi \(n\). C'est un réarrangement (un ordre) de tous les éléments.
Le nombre de permutations de \(n\) éléments est : \(n!\).
Le nombre de façons d'aligner 5 livres sur une étagère est : \(5! = 120\).
6 — Combinaisons
Soit \(E\) un ensemble fini de cardinal \(n\). Une combinaison de \(p\) éléments parmi \(n\) (avec \(0 \leq p \leq n\)) est une partie de \(E\) contenant \(p\) éléments (l'ordre n'a pas d'importance).
Le nombre de combinaisons de \(p\) éléments parmi \(n\) est :
- \(\displaystyle C_n^0 = C_n^n = 1\)
- \(\displaystyle C_n^1 = C_n^{n-1} = n\)
- Symétrie : \(\displaystyle C_n^p = C_n^{n-p}\)
- Relation de Pascal : \(\displaystyle C_n^p + C_n^{p+1} = C_{n+1}^{p+1}\), pour \(0 \leq p \leq n-1\)
Le nombre de mains de 5 cartes dans un jeu de 32 cartes est : \(\binom{32}{5} = 201\,376\).
7 — Formule du binôme de Newton
Pour tous \(a, b \in \mathbb{R}\) et pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a :
\((x+2)^4 = \binom{4}{0}x^4 2^0 + \binom{4}{1}x^3 2^1 + \binom{4}{2}x^2 2^2 + \binom{4}{3}x^1 2^3 + \binom{4}{4}x^0 2^4\).
8 — Tableau récapitulatif
| Type | Ordre ? | Répétition ? | Nombre |
|---|---|---|---|
| Arrangement avec répétition | Oui | Oui | \(n^p\) |
| Arrangement sans répétition | Oui | Non | \(A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}\) |
| Permutation | Oui | Non | \(n!\) |
| Combinaison | Non | Non | \(C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}\) |
OUADJI Jaouad | 1.4 Mo