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🎲 Calcul des Probabilités (contenu du PDF à télécharger)
1 — Expérience aléatoire – Vocabulaire
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut prédire le résultat avant de la réaliser.
Une éventualité (ou événement élémentaire) est un résultat possible d'une expérience aléatoire. On la note souvent \(\omega\).
L'univers \(\Omega\) d'une expérience aléatoire est l'ensemble de toutes ses éventualités : \(\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n\}\).
Un événement \(A\) est une partie de l'univers \(\Omega\) (i.e., \(A \subset \Omega\)).
- Événement certain : \(A = \Omega\)
- Événement impossible : \(A = \varnothing\)
- Événement élémentaire : \(A = \{\omega\}\)
- Événements incompatibles : \(A \cap B = \varnothing\)
- Événement contraire : \(\overline{A}\)
- Intersection \(A \cap B\) : événement « \(A\) et \(B\) »
- Réunion \(A \cup B\) : événement « \(A\) ou \(B\) »
2 — Probabilité sur un univers fini
Soit \(\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n\}\) l'univers d'une expérience aléatoire. Si on répète l'expérience \(N\) fois et que \(\omega_i\) se réalise \(n_i\) fois, alors la probabilité de \(\{\omega_i\}\) est \(p(\{\omega_i\}) = \frac{n_i}{N}\). On a \(\sum_{i=1}^{n} p(\{\omega_i\}) = 1\).
La probabilité d'un événement \(A\) est \(p(A) = \sum_{\omega_i \in A} p(\{\omega_i\})\).
Soient \(A\) et \(B\) deux événements.
- \(0 \leq p(A) \leq 1\)
- \(p(\Omega) = 1\) et \(p(\varnothing) = 0\)
- \(p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)\)
- \(p(\overline{A}) = 1 - p(A)\)
3 — Équiprobabilité
On dit qu'il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
Si les éventualités sont équiprobables, alors pour tout événement \(A\) :
4 — Probabilité conditionnelle et indépendance
Soient \(A\) et \(B\) deux événements avec \(p(A) > 0\). La probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\) est :
Deux événements \(A\) et \(B\) sont dits indépendants si :
Cela équivaut à \(p_A(B) = p(B)\) (si \(p(A) > 0\)).
5 — Formule des probabilités totales
Soient \(A_1, A_2, \dots, A_n\) des événements formant une partition de \(\Omega\) (disjoints deux à deux et de réunion \(\Omega\)). Pour tout événement \(B\) :
6 — Loi binomiale
On considère une expérience aléatoire où un événement \(A\) a une probabilité \(p = p(A)\). On répète cette expérience \(n\) fois de manière identique et indépendante. Soit \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de réalisations de \(A\).
\(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\), notée \(X \sim \mathcal{B}(n, p)\). Pour tout \(k \in \{0, 1, \dots, n\}\) :
Espérance et variance : \(E(X) = np\), \(V(X) = np(1-p)\), \(\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}\).
7 — Variables aléatoires
Une variable aléatoire \(X\) est une fonction qui à chaque éventualité \(\omega \in \Omega\) associe un nombre réel \(X(\omega)\). L'ensemble des valeurs de \(X\) est noté \(X(\Omega) = \{x_1, x_2, \dots, x_p\}\).
La loi de probabilité de \(X\) est la donnée des probabilités \(p(X = x_i)\) pour chaque valeur \(x_i \in X(\Omega)\). On a \(\sum_{i=1}^{p} p(X = x_i) = 1\).
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi \((x_i, p_i)_{1 \leq i \leq p}\).
- Espérance : \(\displaystyle E(X) = \sum_{i=1}^{p} x_i \times p(X = x_i)\)
- Variance : \(\displaystyle V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \sum_{i=1}^{p} x_i^2 \times p(X = x_i) - [E(X)]^2\)
- Écart-type : \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\)
8 — Tableau récapitulatif des principales lois discrètes
| Loi | Paramètres | Probabilité \(p(X=k)\) | Espérance / Variance |
|---|---|---|---|
| Binomiale | \(n, p\) | \(\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\) | \(E(X)=np\), \(V(X)=np(1-p)\) |
| Équiprobable sur univers fini | \(\mathrm{card}(\Omega)=N\) | \(\frac{1}{N}\) pour chaque éventualité | Dépend de \(X\) |
OUADJI Jaouad | 1.8 Mo