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🔢 Nombres Complexes II (contenu du PDF à télécharger)
1 — Notation exponentielle
Pour tout nombre complexe non nul \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\), on définit sa notation exponentielle par :
où \(r = |z| > 0\) et \(\theta = \arg(z)\).
Pour tous \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{Z}\) :
- \(e^{i\alpha} \times e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}\)
- \(\dfrac{e^{i\alpha}}{e^{i\beta}} = e^{i(\alpha - \beta)}\)
- \((e^{i\alpha})^n = e^{in\alpha}\)
- \(\dfrac{1}{e^{i\alpha}} = e^{-i\alpha}\)
- \(|e^{i\alpha}| = 1\)
2 — Formules d'Euler
Pour tout \(\alpha \in \mathbb{R}\) :
Réciproquement : \(e^{i\alpha} = \cos\alpha + i\sin\alpha\).
- \(e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cos\alpha\)
- \(e^{i\alpha} - e^{-i\alpha} = 2i\sin\alpha\)
- \(e^{in\alpha} + e^{-in\alpha} = 2\cos(n\alpha)\)
- \(e^{in\alpha} - e^{-in\alpha} = 2i\sin(n\alpha)\)
3 — Linéarisation
La linéarisation consiste à exprimer une puissance de \(\cos x\) ou \(\sin x\) comme combinaison linéaire de termes en \(\cos(kx)\) ou \(\sin(kx)\).
Pour linéariser : exprimer \(\cos x\) et \(\sin x\) avec les formules d'Euler, développer, regrouper, puis utiliser les formules d'addition.
4 — Équations du second degré dans \(\mathbb{C}\)
- Si \(a = 0\) : \(S = \{0\}\)
- Si \(a > 0\) : \(S = \{\sqrt{a}, -\sqrt{a}\}\)
- Si \(a < 0\) : \(S = \{i\sqrt{-a}, -i\sqrt{-a}\}\)
On calcule \(\Delta = b^2 - 4ac\) :
- Si \(\Delta = 0\) : solution double \(z = -\dfrac{b}{2a}\)
- Si \(\Delta > 0\) : deux solutions réelles \(z_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)
- Si \(\Delta < 0\) : deux solutions complexes conjuguées \(z_{1,2} = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\)
Factorisation : \(az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2)\) si \(\Delta \neq 0\).
5 — Écriture complexe des transformations
Une transformation \(f\) du plan complexe associe à \(M(z)\) un point \(M'(z')\). L'expression \(z' = f(z)\) est l'écriture complexe de la transformation.
Translation de vecteur \(\vec{u}\) d'affixe \(b\) :
Homothétie de centre \(\Omega(\omega)\) et rapport \(k \in \mathbb{R}\setminus\{0,1\}\) :
Rotation de centre \(\Omega(\omega)\) et d'angle \(\theta\) :
Pour \(z' = az + b\) avec \(|a| = 1\) et \(a \neq 1\) : centre \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\), angle \(\theta = \arg(a)\).
6 — Tableau récapitulatif
| Transformation | Écriture complexe | Conditions |
|---|---|---|
| Translation | \(z' = z + b\) | \(b \in \mathbb{C}\) |
| Homothétie | \(z' = kz + b\) | \(k \in \mathbb{R}\setminus\{0,1\}\) |
| Rotation | \(z' = az + b\) | \(|a| = 1,\ a \neq 1\) |
| Similitude directe | \(z' = az + b\) | \(a \in \mathbb{C}^*,\ |a| \neq 1\) ou \(|a|=1\) |
OUADJI Jaouad | 2 Mo