I₁ Calculer :
I₂ Calculer :
I₃ Calculer :
Rappel : Pour un polynôme, on utilise la primitive \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).
I₁ Calcul de \(I_1\)
La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto x^3\) est \(\frac{1}{4}x^4\).
La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto x^2\) est \(\frac{1}{3}x^3\).
La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto x\) est \(\frac{1}{2}x^2\).
La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto 1\) est \(x\).
Donc :
Calculons :
Mettons au même dénominateur (12) :
Donc :
I₂ Calcul de \(I_2\)
La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto 3x^4\) est \(3 \times \frac{1}{5}x^5 = \frac{3}{5}x^5\).
La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto -4x^2\) est \(-4 \times \frac{1}{3}x^3 = -\frac{4}{3}x^3\).
La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto 5x\) est \(5 \times \frac{1}{2}x^2 = \frac{5}{2}x^2\).
La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto 2\) est \(2x\).
Donc :
Calculons :
Mettons au même dénominateur (30) :
Donc :
I₃ Calcul de \(I_3\)
La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto x^3\) est \(\frac{1}{4}x^4\).
La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto -2x^2\) est \(-2 \times \frac{1}{3}x^3 = -\frac{2}{3}x^3\).
La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto -2x\) est \(-2 \times \frac{1}{2}x^2 = -x^2\).
La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto 1\) est \(x\).
Donc :
Calculons :
Les termes \(-1 + 1\) s'annulent :
Mettons au même dénominateur (12) :
Donc :
📊 Récapitulatif des résultats
| Intégrale | Valeur |
|---|---|
| \(I_1\) | \(\dfrac{25}{12}\) |
| \(I_2\) | \(\dfrac{113}{30}\) |
| \(I_3\) | \(-\dfrac{5}{12}\) |
💡 Vérification : Les intégrales de fonctions positives sur [0,1] sont positives (I₁, I₂). I₃ est négative car le polynôme prend des valeurs négatives sur une partie de l'intervalle.