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📈 Équations Différentielles Linéaires (contenu du PDF à télécharger)
1 — Approche et définitions
Notations et vocabulaire
Soit \(y\) une fonction inconnue de la variable \(x\).
- Sa dérivée première est notée \(y'\).
- Sa dérivée seconde est notée \(y''\).
- Une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants s'écrit : \[ y' = a y + b \] où \(a, b \in \mathbb{R}\).
- Une solution particulière de cette équation est une fonction dérivable \(g\) telle que : \[ g'(x) = a g(x) + b \quad \text{pour tout } x \in D_g. \]
- Résoudre l'équation différentielle, c'est déterminer toutes les fonctions solutions (la solution générale).
Limites du programme
Le programme se limite aux équations différentielles des formes suivantes :
- \(y' = a y + b\) avec \(a, b \in \mathbb{R}\).
- \(y'' + a y' + b y = 0\) avec \(a, b \in \mathbb{R}\).
2 — Équation \(y' = a y + b\)
Soit l'équation différentielle \((E) : y' = a y + b\), avec \(a, b \in \mathbb{R}\).
Cas général \(a \neq 0\) : La solution générale de \((E)\) est donnée par :
Cas particuliers :
- Si \(a = 0\) et \(b = 0\), alors \((E) : y' = 0\) et la solution générale est : \(f(x) = c, \quad c \in \mathbb{R}\).
- Si \(a = 0\) et \(b \neq 0\), alors \((E) : y' = b\) et la solution générale est : \(f(x) = b x + \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}\).
Soit l'équation \((E) : y' = a y + b\) avec \(a \neq 0\). Pour toute condition initiale \(f(x_0) = y_0\) (avec \(x_0, y_0 \in \mathbb{R}\)), il existe une unique fonction solution de \((E)\) vérifiant cette condition.
3 — Équation \(y'' + a y' + b y = 0\)
Définitions
Une équation de la forme \[ y'' + a y' + b y = 0, \] où \(a, b \in \mathbb{R}\), est appelée équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants sans second membre.
L'équation \[ r^2 + a r + b = 0, \quad r \in \mathbb{C}, \] est appelée équation caractéristique associée.
Le discriminant de l'équation caractéristique est : \[ \Delta = a^2 - 4b. \]
Forme de la solution générale selon \(\Delta\)
La solution générale de \((E) : y'' + a y' + b y = 0\) dépend du signe de \(\Delta\) :
- Cas \(\Delta > 0\) : L'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes \(r_1\) et \(r_2\). La solution générale est : \[ y(x) = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x}, \quad \alpha, \beta \in \mathbb{R}. \]
- Cas \(\Delta = 0\) : L'équation caractéristique admet une racine réelle double \(r_1\). La solution générale est : \[ y(x) = (\alpha x + \beta) e^{r_1 x}, \quad \alpha, \beta \in \mathbb{R}. \]
- Cas \(\Delta < 0\) : L'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées \(r_1 = p + q i\) et \(r_2 = p - q i\) (avec \(p, q \in \mathbb{R}\), \(q > 0\)). La solution générale est : \[ y(x) = \bigl( \alpha \cos(q x) + \beta \sin(q x) \bigr) e^{p x}, \quad \alpha, \beta \in \mathbb{R}. \]
4 — Résumé des cas pour \(y'' + a y' + b y = 0\)
| Discriminant | Racines de \(r^2 + a r + b = 0\) | Solution générale de \(y'' + a y' + b y = 0\) |
|---|---|---|
| \(\Delta > 0\) | \(r_1, r_2 \in \mathbb{R},\ r_1 \neq r_2\) | \(y(x) = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x}\) |
| \(\Delta = 0\) | \(r_1 \in \mathbb{R}\) (racine double) | \(y(x) = (\alpha x + \beta) e^{r_1 x}\) |
| \(\Delta < 0\) | \(r_{1,2} = p \pm q i\) | \(y(x) = e^{p x} \bigl( \alpha \cos(q x) + \beta \sin(q x) \bigr)\) |
OUADJI Jaouad | 1.8 Mo