1 Première équation :
a. Résoudre l'équation différentielle : \((E_1): y' - 2y = 0\) b. Déterminer la solution \(g\) vérifiant \(g(0) = 3\)2 Deuxième équation :
a. Résoudre l'équation différentielle : \((E_2): y' + 4y = 0\) b. Déterminer la solution \(f\) vérifiant \(f(0) = -3\)Rappel du théorème 11.2.1 et 11.2.2 : Pour \((E): y' = ay + b\) avec \(a \neq 0\), la solution générale est \(y(x) = \alpha e^{ax} - \dfrac{b}{a}\). Pour une condition initiale \(y(x_0) = y_0\), il existe une unique solution.
1 Première équation : \((E_1): y' - 2y = 0\)
a Résolution de \((E_1)\) :
On réécrit sous la forme \(y' = ay + b\). Ici, \(y' = 2y + 0\). Donc \(a = 2\) et \(b = 0\).
Puisque \(a \neq 0\), on applique la formule du théorème 11.2.1 :
Solution générale de \((E_1)\) : \( \boxed{y(x) = \alpha e^{2x},\ \alpha \in \mathbb{R}} \).
b Détermination de la solution \(g\) vérifiant \(g(0) = 3\) :
On a \(g(x) = \alpha e^{2x}\). La condition \(g(0) = 3\) donne :
Donc \(\alpha = 3\). Ainsi :
2 Deuxième équation : \((E_2): y' + 4y = 0\)
a Résolution de \((E_2)\) :
On a \(y' = -4y + 0\), donc \(a = -4\) et \(b = 0\).
Solution générale de \((E_2)\) : \( \boxed{y(x) = \alpha e^{-4x},\ \alpha \in \mathbb{R}} \).
b Détermination de la solution \(f\) vérifiant \(f(0) = -3\) :
On a \(f(x) = \alpha e^{-4x}\). La condition \(f(0) = -3\) donne :
Donc \(\alpha = -3\). Ainsi :
3 Récapitulatif des solutions :
| Équation | Forme \(y' = ay + b\) | Solution générale | Condition initiale | Solution particulière |
|---|---|---|---|---|
| \((E_1)\) | \(a = 2,\ b = 0\) | \(\alpha e^{2x}\) | \(g(0)=3\) | \(g(x)=3e^{2x}\) |
| \((E_2)\) | \(a = -4,\ b = 0\) | \(\alpha e^{-4x}\) | \(f(0)=-3\) | \(f(x)=-3e^{-4x}\) |
Conformément au théorème 11.2.2, la condition initiale détermine de façon unique la constante \(\alpha\).
📌 Remarque : Dans la question 2-b, l'énoncé indique "vérifiant \(g(0)=-3\)" mais la solution est notée \(f\). J'ai interprété comme \(f(0) = -3\) pour la fonction \(f\) de la deuxième équation.