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∫ Calcul Intégral (contenu du PDF à télécharger)
1 — Intégrale d'une fonction continue
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \([a,b]\) et soit \(F\) une primitive de \(f\) sur \([a,b]\). L'intégrale définie de \(a\) à \(b\) de \(f\) est le nombre réel :
Les nombres \(a\) et \(b\) sont appelés les bornes d'intégration.
- \(\displaystyle \int_a^a f(x) \, dx = 0\)
- \(\displaystyle \int_b^a f(x) \, dx = -\int_a^b f(x) \, dx\)
2 — Propriétés de l'intégrale
Pour toutes fonctions \(f\) et \(g\) continues sur \([a,b]\) et pour tout \(\lambda \in \mathbb{R}\) :
Pour tout \(c \in [a,b]\) :
- Si \(f(x) \geq 0\) sur \([a,b]\), alors \(\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx \geq 0\)
- Si \(f(x) \leq g(x)\) sur \([a,b]\), alors \(\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx\)
- Inégalité de la moyenne : \(\displaystyle \left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \, dx\)
3 — Valeur moyenne d'une fonction
La valeur moyenne de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([a,b]\) (avec \(a < b\)) est :
Si \(f\) est continue sur \([a,b]\), alors il existe \(c \in [a,b]\) tel que :
4 — Techniques de calcul d'intégrales
4.1 Intégration par parties
Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur \([a,b]\) avec \(u'\) et \(v'\) continues. Alors :
\(\displaystyle \int_0^1 x e^x \, dx\) : poser \(u(x)=x\), \(v'(x)=e^x\) → \(u'(x)=1\), \(v(x)=e^x\)
\(\displaystyle \int_0^1 x e^x \, dx = \left[ x e^x \right]_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx = e - (e-1) = 1\)
4.2 Intégration par changement de variable
Soit \(\varphi\) une fonction dérivable sur \([a,b]\) avec \(\varphi'\) continue, et soit \(f\) continue sur \(\varphi([a,b])\). Alors :
\(\displaystyle \int_0^1 \frac{2x}{x^2+1} \, dx\) : poser \(t = x^2+1\), \(dt = 2x dx\)
\(\displaystyle \int_0^1 \frac{2x}{x^2+1} \, dx = \int_1^2 \frac{1}{t} \, dt = \ln 2\)
5 — Applications du calcul intégral
5.1 Calcul d'aires
L'aire du domaine plan délimité par la courbe de \(f\), l'axe des abscisses et les droites \(x=a\) et \(x=b\) est :
L'aire entre deux courbes \(f\) et \(g\) (avec \(f \geq g\) sur \([a,b]\)) est :
5.2 Volume d'un solide de révolution
Le volume du solide engendré par la rotation de la courbe de \(f\) autour de l'axe des abscisses sur \([a,b]\) est :
6 — Tableau récapitulatif
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Linéarité | \(\int (f+g) = \int f + \int g\), \(\int \lambda f = \lambda \int f\) |
| Relation de Chasles | \(\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f\) |
| Positivité | \(f \geq 0 \Rightarrow \int f \geq 0\) |
| Inégalité de la moyenne | \(|\int f| \leq \int |f|\) |
| Intégration par parties | \(\int u v' = [uv] - \int u' v\) |
| Changement de variable | \(\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t) dt = \int_a^b f(\varphi(x)) \varphi'(x) dx\) |
| Valeur moyenne | \(\mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx\) |
| Aire (entre courbes) | \(\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)-g(x)| dx\) |
| Volume de révolution | \(V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx\) |
OUADJI Jaouad | 2.1 Mo